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第66章 复试结束

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8、设P是给定的正偶数,集合A, \u003d{x|2\"

这第八题也还好,稍微兜兜转转一下,浪费他不少时间。

二、解答题(本题满分64分,第9题14分,第10题15分,第11题15分,第12题20分)

9、设数列{a,}(n≥0)满足a,\u003d2,amon+am-n -m+n\u003d(am+a2n),其中m,n∈N,m2n.

(1)证明:对一切n∈N,有an2\u003d2a,n-a, +2;a a2009

苏子安沉吟一下,这题跟前段时间在学校做过的卷子中油很多很类似的题。

证明:由已知, 4 S n \u003d a 2n +2 a n ,且a n >0. … 当n\u003d1时, 4 a 1 \u003d a 21 +2 a 1 ,解得a 1 \u003d2. … 当n≥2时,有 4 S n-1 \u003d a 2n-1 +2 a n-1 . 于是 4 S n -4 S n-1 \u003d a 2n - a 2n-1 +2 a n -2 a n-1 ,即 4 a n \u003d a 2n - a 2n-1 +2 a n -2 a n-1 ......

这样就算出来了,下一题。

10、求不定方程x +x2 +x; +3.x, +3xs +5x6 \u003d 21的正整数解的组数.

苏子安思考一会,有了思路。

5x+7y+2z\u003d24① 3x-y-4z\u003d4② , ①×2得,10x+14y+4z\u003d48…③, ③+②得13x+13y\u003d52,即x+y\u003d4, ∵x、y、z是正整数, ∴x\u003d1,y\u003d3或x\u003d2,y\u003d2或x\u003d3,y\u003d1, 把x\u003d1,y\u003d3代入②得,3-3-4z\u003d0,z\u003d0,不合题意; 把x\u003d2,y\u003d2代入②得,6-2-4z\u003d0,z\u003d 3 4 ,不合题意; 把x\u003d3,y\u003d1代入②得,9-1-4z\u003d0,z\u003d2,符合题意.

故答案为: x\u003d3 y\u003d1 z\u003d2 .

苏子安抬头一看时间已经过去一个小时,得抓紧速度了。

11、已知抛物线C:x2\u003d2y与直线1:y\u003dkx-1没有公共点,设点P为直线1.上的动,点,过P作抛物线C的两条切线,A、B为切点.

(1)证明:直线AB恒过定点Q;

(2)若点P与点Q的连线交抛物线C于M、N两点,证明:|PM|:{QN|\u003d|PN|QM|.

(1)设 ,则 . 由 得 ,所以 . 于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 ,即 . 设 ,则有 .设 ,同理有 . 所以 AB 的方程为 ,即 ,所以直线 AB 恒过定点 . (2) PQ 的方程为 ,与抛物线方程 联立,消去 y ,得 . 设 , ,则 ① 要证 ,只需证明 ,即 ② 由①知,②式左边\u003d .故②式成立,从而结论成立.

苏子安活动活动僵硬的脖子,终于来到最后一题了。

12、已知二次函数y\u003d f(x)的图像以原点为顶点且过(1,1), 反比例函数y\u003d JS2(x)的图像与直线y\u003d x的两个交点间距离为8,f\u003d f(x)+ IS(x) .(1)求f(x)的表达式,

(2)证明:当a\u003e3时, 关于x的方程f(x)\u003d f(a)有三个实数解

今年的这压轴题难度有些高啊,看来要在这里决出真正的天才了,这第十二题才是真正的分水岭。

苏子安沉吟许久。

发试卷的老师看了眼表开口说道:“距离考试结束还有一个小时。”

(1) 有三个实数根。

(1)利用二次函数及反比例函数知识即可求解函数表达式;(2)把方程根的问题转化为函数的交点问题 (1)由已知,设 ,再由 ,得 设 ,则它的图像与直线y\u003dx的交点分别为 , 由 得,k\u003d8, , (2)由 得, 设 在同一坐标系内作出 及 的大郅图像如图所示,显然 的图像在第三象限有一个交点,即 有一个负实根。又 当 时, 即 当 时,在第一象限 的图像上存在点 在 图像的上方 的图像在第一象限有两个交点 有两正根,所以 有三个实数根。

终于解出来了,这题真是难啊!

看来是他小看这次竞赛了。

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