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第210章 三角换元之探

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第 210 章 三角换元法之探

又一日,学堂之内,戴浩文再开新篇。

戴浩文缓声道:“今日为师要与尔等讲授另一奇妙之法,名曰三角换元法。”

众学子皆屏气凝神,静待下文。

李华拱手问道:“先生,此三角换元法又是何意?”

戴浩文微笑答道:“且看,若有方程 x2 + y2 = 1,吾等可设 x = cosθ,y = sinθ,此即为三角换元。”

张明面露疑惑:“先生,为何如此设之?”

戴浩文耐心解释道:“诸君可知三角函数之特性?cos2θ + sin2θ = 1,恰与吾等所给方程相符。如此设之,可使求解之路径明晰。”

王强问道:“那若方程为 x2 + 4y2 = 4,又当如何?”

戴浩文道:“此时,可设 x = 2cosθ,y = sinθ。如此,原方程便化为 4cos2θ + 4sin2θ = 4,正合题意。”

赵婷轻声道:“先生,此设颇有巧妙之处。”

戴浩文点头道:“然也。再看若有式子 √(1 - x2),吾等设 x = sinθ,则此式可化为 √(1 - sin2θ) = cosθ 。”

李华思索片刻道:“先生,此换元法于解题有何妙处?”

戴浩文笑曰:“其妙处众多。若求函数之最值,或化简复杂之式,皆能大显身手。譬如,求函数 x + √(1 - x2) 之值域。”

众学子纷纷低头思索。

戴浩文见状,提示道:“已设 x = sinθ,代入可得 sinθ + cosθ 。诸君可还记得两角和之公式?”

张明恍然道:“先生,吾记得,sinθ + cosθ = √2sin(θ + π/4) 。”

戴浩文赞道:“善!由此可知其值域为 [-√2, √2] 。”

王强又问:“先生,若式中含分式,又当如何?”

戴浩文道:“莫急,若有式子 (1 - x2) / (1 + x2) ,设 x = tanθ ,则可化简求解。”

赵婷道:“先生,此中计算恐有繁难之处。”

戴浩文道:“不错,然只要步步为营,细心推之,必能解出。”

说罢,戴浩文在黑板上详细演示计算过程。

......

如此讲学许久,学子们对三角换元法初窥门径。

戴浩文又道:“今留数题,尔等课后细细思索。若有不明,来日再论。”

学子们领命而去,皆欲深研此奇妙之法。

数日之后,众学子再次齐聚学堂。

戴浩文扫视众人,缓声问道:“前几日所授三角换元法,尔等可有研习?”

学子们纷纷点头,李华率先说道:“先生,学生课后反复思索,略有心得,然仍有诸多不明之处。”

戴浩文微笑道:“但说无妨。”

李华拱手道:“若方程为 9x2 + 16y2 = 144,该如何进行三角换元?”

戴浩文答道:“可设 x = 4cosθ,y = 3sinθ。如此一来,原方程化为 16cos2θ + 9sin2θ = 144,与原式契合。”

王强接着问道:“先生,那对于形如 √(x2 - 2x + 1) 这样的式子,又当如何三角换元?”

戴浩文耐心解释道:“先将其化为 √((x - 1)2) = |x - 1| ,再设 x - 1 = t ,若要三角换元,可令 t = sinθ 。”

赵婷疑惑道:“先生,为何有时设 x = cosθ ,有时又设 x = sinθ 呢?”

戴浩文道:“此需视具体问题而定。若方程或式子之形式与 cosθ 或 sinθ 之特性相关,便按需设之。”

张明道:“先生,三角换元法在求定积分时可有应用?”

戴浩文点头道:“自然有。譬如求∫(0 到 1) √(1 - x2) dx ,设 x = sinθ ,则可将其化为三角函数之积分,求解更为简便。”

说罢,戴浩文在黑板上详细推演计算过程。

“诸位且看,如此换元之后,积分上下限亦需相应变换。”

学子们目不转睛,仔细聆听。

王强道:“先生,那若遇复杂之复合函数,可否用三角换元?”

戴浩文笑曰:“只要能寻得恰当之替换关系,未尝不可。就如函数 f(x) = √(2 - x - x2) ,先将其内部配方,再进行三角换元。”

戴浩文边讲边写,学子们不时点头,似有所悟。

李华又问:“先生,三角换元法与均值换元法可有相通之处?”

戴浩文沉思片刻,道:“二者皆为换元之法,旨在简化问题。均值换元常以均值为桥梁,而三角换元则借助三角函数之特性。然具体运用,需依题而定。”

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