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戴建文

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第211章 顶角120度的等腰三角形

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第 211 章 顶角 120 度的等腰三角形

又到了新的一日,戴浩文精神抖擞地走进学堂,学子们早已正襟危坐,期待着新的知识。

戴浩文轻拍双手,朗声道:“今日,为师要与尔等探讨一种特殊的三角形——顶角为 120 度的等腰三角形。”

他转身在黑板上画出一个三角形,“诸位请看,此三角形顶角为 120 度,两腰相等。”

李华举手问道:“先生,这等腰三角形有何特殊之处?”

戴浩文微笑着回答:“此三角形之腰与底边关系,极为有趣。且听为师细细道来。”

他拿起粉笔,在三角形上标注出角度和边的长度,“设等腰三角形的腰长为 a,底边为 b。”

戴浩文目光炯炯,环视众学子,“我们先来作一条垂线,从顶角到底边。”说着,他在黑板上画出这条垂线。

“由于等腰三角形三线合一的性质,这条垂线也是底边的中线。”戴浩文边说边写,“那么,顶角的一半就是 60 度。”

王强恍然大悟道:“先生,那这就构成了一个直角三角形!”

戴浩文点头称赞:“王强所言极是。在这个直角三角形中,我们可以利用三角函数来求解边的关系。”

他在黑板上继续写道:“cos60 度 = 底边的一半除以腰长,即 b/2 ÷ a = 1/2 ,所以底边的一半 b/2 = a/2 。”

赵婷思索片刻,说道:“先生,那底边 b 岂不是等于 a ?”

戴浩文摇头道:“非也非也。底边的一半是 a/2 ,所以底边 b = a。”

众学子纷纷点头,似有所悟。

戴浩文又道:“那我们再来深入探究一下。若已知腰长,如何求得底边呢?”

张明道:“先生,既然腰长为 a 时,底边 b = a,那若腰长为 5,底边不就是 5 吗?”

戴浩文笑了笑:“理论如此,但实际计算时,需考虑根号的运算。若腰长为 5,底边 b = 5 = 5√3 。”

学子们纷纷动笔计算,验证着这一结果。

戴浩文接着说:“反之,若已知底边长度,求腰长亦不难。”他在黑板上给出一道例题:“已知等腰三角形底边为 8√3 ,求腰长。”

李华迅速道:“先生,那腰长 a = 底边 b ÷ = 8√3 ÷ = 8 。”

戴浩文满意地点点头:“李华解得甚是准确。”

“接下来,我们再看此类三角形在实际问题中的应用。”戴浩文说道,“假设在一座金字塔形状的建筑中,有一个顶角为 120 度的等腰三角形截面。已知腰长为 10 米,求底边长度,以确定建筑材料的用量。”

学子们纷纷埋头思考,开始计算。

王强率先得出答案:“先生,底边应为 10√3 米。”

戴浩文赞许道:“王强算得不错。那若要在这个截面周围安装灯带,灯带长度又该如何计算?”

赵婷道:“先生,灯带长度不就是三角形的周长吗?即腰长乘以 2 加上底边长度。”

戴浩文道:“赵婷思路清晰。那大家算算,周长具体为多少?”

经过一番计算,众学子得出答案:20 + 10√3 米。

戴浩文又道:“再看这一情形。有一块顶角为 120 度的等腰三角形土地,要在其周围修建围墙。已知底边长度为 18√3 米,每米围墙造价为 100 元,求修建围墙的总费用。”

学子们再次陷入思考,认真计算。

张明道:“先生,先求出腰长为 18 米,周长为 18×2 + 18√3 = 36 + 18√3 米,总费用为 (36 + 18√3)×100 元。”

戴浩文微笑着点头:“很好。此类问题在生活中屡见不鲜,掌握了这一知识,便能更好地解决实际难题。”

“我们再深入思考一下。”戴浩文目光深邃,“若在这个等腰三角形中,作一条平行于底边的线段,会有怎样的结论呢?”

他在黑板上画出图形,“假设这条线段距离底边的距离为 h,大家想想,线段的长度与底边、腰长又有何关系?”

众学子交头接耳,纷纷讨论。

李华道:“先生,可否利用相似三角形来求解?”

戴浩文点头道:“李华想法甚好。我们可以通过相似三角形的对应边成比例来得出关系。”

经过一番推导,得出结论:线段长度 = (底边 - 腰长×cos60 度)× 。

戴浩文道:“大家明白了吗?”

学子们齐声回答:“明白了,先生!”

戴浩文继续道:“那我们再变化一下。若在三角形内部取一点,分别向三个顶点连线,形成的三个小三角形面积又有何规律?”

这个问题让学子们陷入了更深的思考。

王强道:“先生,是否可以先求出大三角形的面积,再根据三个小三角形的关系来求解?”

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