第七章 分野（上）
与 Kamenev 教授的一席谈，如同在闷热的夏日午后注入了一股清冽的泉水，不仅涤荡了李叶心头的些许迷茫，更在理论构建的荒原上，为他标出了几条可能通向绿洲的路径。回到机房，他做的第一件事，便是将交流中的关键要点、思路启发、以及 Kamenev 教授提到的参考文献，事无巨细地记录下来。那些关于“辅助场平均场”、“涨落修正”、“阻挫可能的拓扑性”的提示，如同散落的珍珠，被他小心翼翼地拾起、串联，重新审视自己之前的工作。
他首先按照 Kamenev 教授的建议，深入研读了关于用 Hubbard-Stratonovich 变换处理自旋系统、特别是存在外场和阻挫情况的相关文献。这是一个他之前虽有涉猎但未曾深入的系统性技巧。现在，带着明确的问题和目标，他重新学习，理解如何将交错磁场项和反铁磁交换项，分别用辅助的“磁场”场和“配对”场来表示，写出配分函数，然后在平均场近似下，求解这些辅助场的自洽方程。
这个过程充满了复杂的代数运算和场论技巧。他需要在草稿纸上推导大段的公式，处理复杂的矩阵对角化，理解不同近似（如静态近似、忽略涨落等）的物理含义和适用范围。这比他之前尝试的、更为直接的强耦合展开要系统得多，但也复杂得多，常常为了一个符号、一个极限的处理，要反复查阅资料、推导验证。
“辅助场的引入，本质上是对相互作用项的解耦，”李叶在笔记上写道，试图理清思路，“交错磁场是外场，可以直接处理。反铁磁相互作用是四算符项，通过HS变换引入辅助配对场，变成二次型，就可以在平均场下处理。但关键是，这两个场是耦合的，交错磁场会影响配对场的空间分布，阻挫项又会引入额外的、可能是非局域的耦合……”
推导到具体形式时，他遇到了第一个难关。对于一维链，交错磁场是周期性的（比如，格点i上的磁场为 h_i = h_0 * (-1)^i），这使得辅助的“磁场”场也具有了相同的空间调制。而配对场，如果要描述最近邻自旋单态的形成，也自然地定义在键上。如何写出一个统一的、包含这两种辅助场，并满足自旋算符约束（每个格点自旋算符的模固定）的场论表述？这需要仔细选择辅助场的表示，并正确处理约束条件。
他翻出 Kamenev 教授提到的一篇关于“自旋液体平均场理论”的经典综述，仔细研读其中关于用复数希格斯场（plex Higgs field）表示自旋单态配对，用规范场（这里可能是U(1)或Z2规范场）来处理约束的部分。这让他意识到，问题可能比他最初想的更复杂。在阻挫存在的情况下，简单的平均场处理可能不够，需要考虑规范涨落的影响，甚至可能出现 deconfined 的分数化激发——这正是刘逸正在研究的领域。
“看来，即使是最简单的平均场起点，也需要小心处理规范结构。”李叶在草稿纸边缘标注。他决定先采用一个相对简单的处理：忽略可能的内禀规范场，专注于实数配对场和周期性磁场场的耦合，在平均场近似下求解，看看能否得到非零的配对场期望值，作为“二聚体化”的序参量。这当然是一个粗糙的近似，但可以作为起点。
他花了将近一周的时间，才初步搭建起这个简化的理论框架，写出了平均场自由能的表达式。这是一个关于周期性磁场场 φ_i 和最近邻配对场 Δ_{＜i,j＞} 的泛函。自洽方程要求自由能对这两个场的变分为零。由于空间的周期性，可以借助傅里叶变换到动量空间处理，但交错磁场破坏了平移不变性，使得问题必须在实空间或包含两个子格的原胞中处理，方程变得耦合且非线性。
解析求解希望渺茫。李叶转向数值。他编写了MATLAB程序，尝试用自洽迭代的方法求解这个方程组。他需要猜测初始场位形，然后迭代更新直到收敛。然而，由于非线性，迭代常常不收敛，或者收敛到平庸解（Δ=0，即无配对）。他需要调整参数（交换耦合J、阻挫系数α、交错磁场强度h0），尝试不同的初始猜测，小心翼翼地在参数空间中“巡逻”，寻找可能的有序相。
这又是一项繁琐而耗时的任务。屏幕上，迭代误差的曲线时而振荡发散，时而缓慢趋于一个值，但往往是零。李叶不断调整算法，加入阻尼，尝试不同的迭代格式。有时，在某个参数区间，当交错磁场h0足够大，阻挫α在一个特定范围时，迭代似乎开始收敛到一个非零的 Δ 值，而且 Δ 的分布呈现出空间调制——在某些键上更强，暗示着可能的“二聚体”形成模式。这让他精神一振。
然而，这只是第一步。得到非零的平均场解，只是说明在这个近似下，系统可能存在某种有序倾向。但平均场解是否稳定？量子涨落会如何修正它？更重要的是，这个平均场解对应的低能激发是什么？是否与数值模拟中看到的、暗示分数化自旋子连续谱的特征相符？要回答这些问题，他需要回到完整的路径积分表述，将辅助场的涨落积分回去，得到有效作用量，然后分析其低能激发谱。这涉及到计算高斯涨落行列式，分析其本征模式……又是一个庞大的工程。
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